5. Ferramentas de Econometria

O Macrodados oferece recursos de estatística e econometria fundamentais para a elaboração de modelos econométricos e projeções :

• Estatísticas descritivas
• Projeção por métodos automáticos

Médias móveis

Amortecimento exponencial

Winter

• Correlação e correlograma

Correlações, autocorrelações, autocorrelações parciais

Correlograma, estatística Q de Ljung-Box

• Regressão linear múltipla

Coeficientes, erros padrão, estatísticas

Gráficos da série ajustada e do resíduo, matriz de covariância

Regressão com erros auto-regressivos

Previsão, coeficiente de Theil

• Testes de especificação e diagnóstico

Testes de coeficientes

Testes de resíduos

Testes de estabilidade

• Teste de raiz unitária ADF

o Teste Granger-Causalidade

• X12-ARIMA

5.1  Estatísticas descritivas

Esta opção apresenta um conjunto de estatísticas descritivas para uma série e permite a geração de um histograma da distribuição de freqüência.

Média	Valor médio da série (sensível a outliers)	x = å xt / N
Moda	Ponto central da classe de maior freqüência. Varia de acordo com o número de classes.	Valor central da classe mais freqüente.
Mediana	Ponto central da distribuição (pouco sensível a outliers)	Valor central (ou média entre os dois pontos centrais se o número de observações for par)
Máximo e Mínimo	Máximo (o maior) e mínimo (o menor) valor da série na amostra.	Maior e menor valor.
Variância	Medida de dispersão da série em relação à média	å (xt - x)^2/(N-1) = S^2
Desvio padrão	Raiz quadrada da variância = S. É uma medida de dispersão com dimensão comparável a da média, ou seja, está expresso na mesma unidade da série.	S
Coeficiente de variação	Medida de dispersão relativa normalizada pela média.	S/x
Coeficiente de assimetria	Medida da assimetria da distribuição. Na distribuição normal, simétrica, o coeficiente A é igual a zero. Um coeficiente A maior que zero indica uma cauda direita alongada. Se menor que zero indica uma cauda esquerda alongada.	A  = (1/N) * [S   ( (xt – x) / se )^3 ] onde se= S*((N-1)/N)^1/2é a estimativa do desvio padrão sem correção para o viés de amostragem
Curtose	Medida do achatamento da distribuição. Na distribuição normal K é igual a 3. Se K for maior que 3 a distribuição é menos achatada que a normal. Se K for menor que 3 a distribuição é mais achatada que a normal.	K  = (1/N)*[S     ( (xt – x) / se )^4 ]
Jarque-Bera	Estatística para testar se a série tem distribuição normal, baseada em diferenças entre assimetria e curtose da distribuição da série em relação à normal	JB = (N/6)*( A^2 + (K-3)^2/4
Probabilidade JB	É a probabilidade de não rejeitar a hipótese de normalidade. Se este valor for suficientemente pequeno, pode-se rejeitar a hipótese de normalidade.	Prob(Qui-quadrado com 2 graus de liberdade)

A probabilidade JB mostrada na janela de saída do teste é a probabilidade de que a estatística Jarque-Bera exceda (em valor absoluto) o valor observado se a hipótese nula de normalidade for verdadeira.

ü Uma probabilidade JB pequena (isto é, um valor próximo de zero) significa que a hipótese de normalidade deve ser rejeitada.

No exemplo a seguir, existe probabilidade de 94.73% (100*(1-0,0573)) de que a distribuição não seja normal, ou seja, a hipótese de normalidade deve ser rejeitada.

Também podemos concluir que a distribuição é ligeiramente assimétrica à esquerda e um pouco mais achatada que a da normal padrão.

A tabela com as estatísticas da série pode ser copiada para outros programas, tais como Microsoft Word ou Excel, ou impressa.

Para isso clique em  ou em .

O histograma (gráfico) da figura divide os valores da amostra (série) em um determinado número de classes (sub-intervalos) e indica o número de observações da série para cada classe.

Cada barra corresponde ao número de observações da série que se encontra na classe correspondente. No topo das barras são indicadas quantas observações da série existem no sub-intervalo (classe) correspondente.

Para aumentar o número de classes altere o valor em .

Para copiar ou imprimir o histograma clique em   ou em .

Para visualizar no histograma os percentuais das classes clique em .

5.2 Filtro de Hodrick-Prescott

O Filtro de Hodrick-Prescott é um método criado pelos economistas Robert Hodrick e Edward Prescott para obter uma série de tendência não linear suavizada.

É uma técnica muito usada em ciclos reais de negócios, para extrair a tendência de séries como a do PIB por exemplo.

A série filtrada é mais sensível a flutuações de longo prazo do que de curto prazo. O ajuste de sensibilidade é feito no parâmetro de amortecimento l descrito a seguir.

Seja Y_t o logaritmo da série original para t=1, 2, ..., T.

Considere que a série Y possui um componente de tendência t e um componente cíclico C, de modo que : Y_t = t_t + C_t

Existe um componente de tendência que minimiza a equação a seguir, para um dado valor positivo do parâmetro l :

_{T                            T-1}

MIN  å (Y_t – t_t) ² +  å [ (t_t+1 – t_t ) – (t_t – t_t-1) ]²

^{t=1                   t=2}      

O primeiro termo da equação é a soma dos desvios ao quadrado, que penaliza o componente cíclico. O segundo termo penaliza variações na taxa de crescimento do componente de tendência.

Quanto maior for o valor do parâmetro de amortecimento l maior é a penalidade.

Recomenda-se usar um parâmetro l de 14400 para séries mensais, 1600 para trimestrais e 100 para anuais.

O Filtro de Hodrick-Prescott está disponível no Macrodados no menu principal, em Econometria, como mostrado na figura a seguir.

Ao ser acionada, esta opção mostra uma janela que solicita a série a ser filtrada e o parâmetro de amortecimento. É possível também restringir o intervalo a ser considerado  informando-se as datas inicial e final nos campos correspondentes.

Se apenas uma série for selecionada com o campo Gráfico marcado, será também mostrado um gráfico com a série original e a série filtrada.

Após clicar em Ok, o programa gera uma nova série e mostra o gráfico. A nova série tem o prefixo FHP.

5.2  Projeção de Série Temporal

Este recurso gera projeções por métodos automáticos, ou seja, levando em conta apenas os dados históricos da própria série.

Clique em Econometria – Projeções para ver a janela da figura abaixo :

O programa dispõe de três métodos de projeção :

· Método de Médias Móveis

· Método de Amortecimento Exponencial

· Método de Winters.

Veremos maiores informações sobre estes métodos mais adiante. Para maiores detalhes sugerimos consultar por exemplo “Fundamentals of forecasting”, de Sullivan e Claycombe (1977).

Na janela da figura, caso a opção de método Automático esteja marcada, o programa irá projetar automaticamente para os três métodos e escolher a projeção que resultar no menor erro médio quadrático.

O usuário pode também selecionar um método de sua preferência e até mesmo fornecer os seus próprios parâmetros. Para isso deve ser marcado o método desejado e, caso queira fornecer parâmetros, marcar a opção Manual no método escolhido.

Vejamos o significado das outras opções disponíveis :

ü O campo Número de Períodos indica o número de valores a serem projetados.

ü O campo Data Inicial informa ao programa para considerar apenas os dados posteriores à data informada.

ü A opção Gerar Série Simulada gera na área de trabalho uma série com os resultados simulados a cada período pelo método adotado, incluindo as projeções. Esta opção é particularmente útil para a análise dos erros gerados pelo processo.

ü A opção Aplicar Logaritmo quando selecionada faz com que a série original seja transformada por logaritmo, de forma que o programa analisa e projeta o logaritmo da série original e depois processa a transformação inversa para obter as projeções finais.

5.2.1 Método de Médias Móveis

O método de médias móveis simples estima projeções a partir da média aritmética das últimas k observações disponíveis :

P_t+1 = M_k (t) = (x _t + x _t-1 + ... + x _t-k+1) / k  , onde:

x _t é o valor da série no período t

k é o número de períodos da média móvel

M_k (t) é a média móvel de k períodos no instante t

P_t+1 é a projeção para o período t+1

O número de períodos da média móvel (não confundir com o número de períodos a serem projetados) pode ser utilizado para dar mais ou menos importância aos dados mais recentes da série.

ü Quanto menor for o número de períodos da média móvel (k), maior será a influência dos dados mais recentes da série no cálculo da projeção.

ü Quanto maior for o número de períodos da média móvel (k), menor será a influência dos dados mais recentes da série no cálculo da projeção.

O método de médias móveis simples apresenta bons resultados para projetar séries S(t) estacionárias sem componente de tendência e que portanto podem ser modeladas como S(t) = a + e(t) , onde a é uma constante de nível e e(t) o termo de erro aleatório.

Já o método de médias móveis duplas é mais indicado para projetar séries com tendência linear.

Trata-se de uma variante do método de médias móveis simples no qual as observações x_t são substituídas pelas médias móveis M_k(t) calculadas período a período, como mostrado na equação a seguir:

P_t+1 = M2_k (t) = ( M _k (t) + …+ M _k (t-k+1 ) ) / k , onde:

M _k (t) é a média das últimas k observações no período t

P_t+1 é a projeção calculada para o período t+1

O gráfico abaixo ilustra uma projeção gerada pelo método de médias móveis duplas:

Neste caso foi especificado o método e o número de períodos (k) como 12 meses, como mostrado na figura a seguir :

5.2.2 Método de Amortecimento Exponencial

O método de médias móveis duplas se adapta bem para projetar séries com componente de tendência linear, mas no caso de séries com componente de tendência quadrática por exemplo, o método de amortecimento exponencial é o mais adequado.

A equação da média móvel simples pode ser transformada de modo a se obter uma expressão alternativa para a média móvel no período t :

M_k (t ) = (1/N)  x_t + (1 - 1/N) M_k (t-1)

O método de amortecimento exponencial simples pode ser entendido como uma generalização dessa equação, tal que:

P_t+1 = A_t  =  a  x _t  +  (1- a )  A_t–1  

A constante a (que está sempre entre zero e um) é chamada de constante de amortecimento. A equação acima considera que cada nova estimativa A_t  será função da nova observação x_t  e da estimativa anterior A_t-1 .

ü O valor da constante  tem o efeito inverso ao N da média móvel: quanto maior o for , mais importância terão os dados mais recentes e vice-versa.

O amortecimento exponencial duplo consiste em substituir a observação x_t pela projeção calculada por amortecimento exponencial simples, isto é:

A2_t =  a  A_t   + (1- a )  A2_{t –1} 

Neste caso, após algumas transformações  algébricas obtém-se um modelo de tendência linear com coeficientes variáveis. Neste caso:

P _t+T = a_t + b_t  T , onde:

T é o horizonte de projeção

a_t   = 2*A_t  - A2_t

b_t  = ( a / ( 1-a ) )* [A_t  - A2_t ]

Este método, assim como o método de médias móveis duplas, também se adapta bem para projetar séries com componente de tendência linear.

No modo Automático o programa projeta para diversos valores de  entre zero e um de modo a identificar aquele que resulta no menor erro médio quadrático, que é então selecionado automaticamente.

O gráfico a seguir ilustra uma projeção por amortecimento exponencial duplo do PIB nominal gerada pelo Macrodados :

5.2.3 Método de Winters

Os métodos de médias móveis e amortecimento exponencial são voltados para projetar séries estacionárias ou com componente de tendência (linear ou quadrática). Quando se quer considerar componentes cíclicos, ou seja, quando as séries possuem sazonalidade, deve ser adotado o método de Winters.

O Método de Winters considera o modelo de tendência linear básico ao qual é aplicado para cada período um fator sazonal multiplicativo, de modo que:

P_t+T = (a _t + b _t  T ) F _t , onde:

P_t+T  é a projeção T períodos à frente feita no instante t

a_t é a estimativa do intercepto da reta no instante t

b_t é a estimativa da inclinação da reta no instante t

F_t é a estimativa do fator sazonal multiplicativo no instante t

Os fatores sazonais F_t são obtidos para cada período dividindo-se cada valor observado pelo valor projetado e no final é calculada a média dos fatores para cada ciclo.

As estimativas dos parâmetros são obtidas a cada período t segundo as equações a seguir :

a_t = a  (x_t / F_t-N)  +  (1 - a)  (a_t-1 + b_t-1)

         b_t = b (a_t – a_t-1) + (1- b) b_t-1

F_t = s (x_t/a_t) + (1-s)F_t-n

a, b e s são as constantes de amortecimento (entre 0 e 1) usadas na obtenção das estimativas.

É muito comum assumir valores iguais para estas constantes, mas em algumas situações pode ser melhor fazer com que as estimativas respondam de modo diferente.

O gráfico a seguir ilustra uma projeção pelo método de Winters gerada pelo Macrodados. Neste caso usamos a opção Automático para a escolha do método e não fornecemos manualmente nenhum parâmetro.

5.3 Correlograma

Use esta opção para ver uma tabela numérica e um gráfico das autocorrelações e autocorrelações parciais de uma série.

A autocorrelação de uma série Y na defasagem K é definida por :

T                                                T

AC(K) = å [(Y_t - x_y)*( Y_t-k - x_y)] / å [(Y_t - x_y)²]

K+1                                            1

, onde x_y  é a média de Y

A autocorrelação é o coeficiente de correlação para valores da série separados por K períodos. Quando K é igual a zero o resultado é igual a 1.

q Se AC(1) for diferente de zero então a série tem correlação serial de primeira ordem.

q Se AC(K) diminui mais ou menos geometricamente quando K aumenta, é um sinal que a série segue um processo auto-regressivo (AR).

q Se AC(K) cai a zero após um número pequeno de lags, é um sinal que a série segue um processo de médias móveis de baixa ordem (MA).

Para obter o correlograma, clique em Econometria – Correlograma, no menu principal.

Será mostrada uma janela como na figura abaixo :

Os campos Data Inicial e Data Final podem ser usados para definir o intervalo a ser considerado no correlograma. Se estes campos forem deixados em brando será considerado o intervalo completo da série.

Os ícones ao lado dos campos de data servem para apagar a data indicada e assim considerar a observação mais antiga (Data Inicial) ou mais recente (Data Final).

O campo Defasagem indica o numero de defasagens a ser mostrado no correlograma.

Selecione a opção Fixar intervalo se desejar manter um determinado intervalo para os próximos correlogramas.

As linhas tracejadas no gráfico das autocorrelações correspondem aos limites de dois desvios padrão.

Ø Se a autocorrelação estiver contida nestes limites então ela não é significantemente diferente de zero ao nível aproximado de 5% de significância.

A autocorrelação parcial de uma série Y na defasagem K, ACP(K), é estimada como sendo o coeficiente da regressão associado à variável independente Y_t-k considerando o seguinte modelo de regressão :

Y_t = cte + a₁* Y_t-1 + a₂* Y_t-2 + … + a_K* Y_t-k

ACP(K) = a_K

Ela é dita parcial porque mede a correlação entre observações separadas por K períodos, após remover o efeito das defasagens intermediárias.

Para séries temporais, uma grande parte da correlação entre Y_t e Y_t-k pode ser devida às correlações com as defasagens Y_t-1 ,Y_t-2 ,...,  Y_t-k-1 . A autocorrelação parcial remove a influência destes termos.

Ø Se o padrão da autocorrelação pode ser descrito como de ordem menor que K então a autocorrelação parcial na defasagem K será próxima de zero.

A análise das autocorrelações e das autocorrelações parciais deve levar em conta a estatística Q de Ljung-Box.

Esta estatística é aproximadamente distribuída como uma Qui-quadrado com K graus de liberdade se :

Hipótese nula : Não existe autocorrelação até a ordem K

A coluna Prob mostra a probabilidade que a estatística Q seja significante.

ü Um valor pequeno de Prob sugere a rejeição da hipótese nula. Por exemplo, um valor de Prob menor que 0,05 indica que a probabilidade que exista autocorrelação até a ordem K é de 95%.

Os campos Data Inicial e Data Final podem ser usados para definir o intervalo da amostra.

Se não preenchidos o programa considera o maior intervalo que contenha todas as observações disponíveis das séries.

O campo Intervalo indica o número máximo de defasagens que serão considerados.

Uma vez selecionadas as séries de interesse, clique em Ok para processar.

A figura abaixo ilustra um correlograma para a série mensal de Índice de Rentabilidade da SELIC :

Para copiar a saída para outros ambientes, imprimir a tabela ou abrir o correlograma no Excel, use os botões :

 ,  ou .

5.4 Correlograma cruzado

Considere duas séries X e Y. Dado que :

Variância de X : Var(X) = å (xi - x_x)²/(N-1)

Variância de Y : Var(Y) = å (yi - x_y)²/(N-1)

, onde x_x e x_y são as médias de X e Y.

Define-se a Covariância entre X e Y como sendo :

Cov(X,Y) = å [(xi - x_x)*( yi - x_y)]/(N-1)

A covariância dá uma medida de dispersão conjunta das duas séries. A partir daí deriva-se o conceito de correlação, que dá uma medida do grau de associação entre as duas séries.

Cor(X,Y) = Cov(X,Y) / [ Var(X)*Var(Y) ] =

å [(xi - x_x)*( yi - x_y)] / [(å (xi - x_x))^1/2*(å (yi - x_y)) ^½]

É fácil verificar que:

–1 <= Cor(X,Y) >= 1.

q Uma correlação positiva indica que o valor de Y tende a aumentar sempre que o valor de X aumenta.

q Uma correlação negativa indica que o valor de Y tende a diminuir sempre que o valor de X aumenta.

q Um valor zero indica que as séries não são correlacionadas, ou seja, a variação de X não afeta a variação de Y.

As linhas tracejadas no gráfico das correlações correspondem aos limites de dois desvios padrão.

Se a correlação estiver contida nestes limites então ela não é significantemente diferente de zero ao nível aproximado de 5% de significância.

O correlograma cruzado do Macrodados mostra a correlação entre X e Y e também as correlações entre X e as defasadas de Y e entre X e as adiantadas de Y.

Ao ser acionada esta opção mostra a janela da figura abaixo :

Os campos Data Inicial e Data Final podem ser usados para definir o intervalo da amostra. Se não preenchidos o programa considera o maior intervalo que contenha todas as observações disponíveis das séries.

Para o exemplo considerado obtém-se o seguinte correlograma cruzado :

Para copiar a saída para outros ambientes, imprimir a tabela ou abrir o correlograma no Excel, use os botões :